Introduction
偶然想到了行列式。
众所周知，行列式都是方阵，$n \times n$。
那么，存不存在$m \times n$的行列式呢？甚至，如何求解呢？
有了这个想法以后，我决定从行列式的几何意义出发。
- 2阶行列式，代表了2个2维向量张成的面积（张，即伸展）
- 3阶行列式，代表3个3维向量张成的平行六面体的体积
- 1阶行列式，代表了1维向量的长度
- ……
从2、3维出发~
由于矩阵可以转置，行列式不变（不证），因此，以下默认$m<n$。
叉积的行列式表示：（向量$\vec u = [a,b,c]$和$\vec v=[d,e,f]$得到$\vec w$）
$\vec w$的长度一般可以等效地看作：
（不作证明。前提是$\vec u$，$\vec v$与$[0,0,1]$线性无关）
那么！难道，不就是下面的式子吗？。。。
推广！！！
一般规律
对于任意的$m \times n$矩阵A，
先采用Guass消去法，得到行阶梯矩阵B（此时$a_{ij}$的值可能已经发生变化。and不考虑不满秩的情况~）
然后为该矩阵补上n-m个线性无关的单位行向量，按照方阵行列式求解即可（将$B_{more}$称为B的补充矩阵）
完美求解！
广义迹
实际上，由（5）、（6）式，容易看出，行阶梯矩阵中的阶梯角上的元素之积就是所求值。
因此，行阶梯矩阵中的阶梯角上的元素之和可以被称为广义迹。
广义特征值
既然存在广义行列式，广义迹，那么难道不应该存在广义特征值吗？
特征值只需满足$|\lambda E - A|=0$。
但$E$的一般定义只有方阵，因此我们需要额外得到关于A的广义相关单位矩阵$E_A$。
即有
显然，$E_A$满足，
- $m \times n$
- 与A的状态有强烈相关性
结合（5）式及其前后的推导过程，我们不难得到，
可以代入验证，此时（7）式在$\lambda_i$处成立，且$\lambda_i$的取值就是（6）式结果中的因子。
我们知道了A的特征值。
可不可以进一步求A的特征向量呢？
……似乎引申出了一种广义的特征变换。（相似变换）
特征变换可以将不同维度的向量联系起来，即，$\xi_n$和$\xi_m$关于A矩阵相似。
我们不妨这样思考，按照（4）、（5）、（6）式的变换，求得A的补充矩阵$A_{more}$。显然，必有
（由定义，补充矩阵必是方阵）
现在，我们需要验证是否有$\xi_n = \xi^{‘}_n$。若成立，则$\xi_m$也必然是$\xi_n$的分量。
由一般性的方阵特征向量的属性（如方程组的解向量），容易知道，$\xi_n = \xi^{‘}_n$是成立的。
显然，$\xi_n$和$\xi_m$是相似的，它们关于A的分量相同。称，$\xi_n$根据变换法则$A$相似变换到$\xi_m$。
（线性）特征变换/相似变换
前面我们都默认了$m<n$。根据转置规律，总可以保证成立。
但是这时，对于（9）式而言，总是从更长向量相似变换到更短向量。
因此，不由得会思考，是否可以从更短向量相似变换到更长向量呢？
比如，可以举出例子：
特征值：1，从$[0,k]^T$变换到$[0,k,k]^T$。（$k$为任意实数）
同时，也有
特征值：1，从$[0,k,0]^T$变换到$[0,k]^T$。
求解过程可以参考之前的分析。这里省略。
如何推广？留待思考~
PS.写之前百度了一下，发现已经有人做过这方面的工作了，“广义行列式”。有论文发表，但写得过于枯燥。。。处理方法也与我所想不甚相同。
于是把自己的想法记下来了~